树形 DP - 动态规划

在学习本章前请确认你已经学习了 [动态规划基础](#)

树形 DP，即在树上进行的 DP。由于树固有的递归性质，树形 DP 一般都是递归进行的。

## 基础

以下面这道题为例，介绍一下树形 DP 的一般过程。

### " 例题[洛谷 P1352 没有上司的舞会](https://www.luogu.com.cn/problem/P1352)"
> 某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1 \sim N$ 。他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $a_i$ ，但是呢，如果某个职员的上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

我们可以定义 $f(i,0/1)$ 代表以 $i$ 为根的子树的最优解（第二维的值为 0 代表 $i$ 不参加舞会的情况，1 代表 $i$ 参加舞会的情况）。

显然，我们可以推出下面两个状态转移方程（其中下面的 $x$ 都是 $i$ 的儿子）：

-	$f(i,0) = \sum\max \\{f(x,1),f(x,0)\\}$ （上司不参加舞会时，下属可以参加，也可以不参加）
-	$f(i,1) = \sum{f(x,0)} + a_i$ （上司参加舞会时，下属都不会参加）

我们可以通过 DFS，在返回上一层时更新当前结点的最优解。

代码：

```cpp
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct edge {
	int v, next;
} e[6005];
int head[6005], n, cnt, f[6005][2], ans, is_h[6005], vis[6005];
void addedge(int u, int v) {
	e[++cnt].v = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}
void calc(int k) {
	vis[k] = 1;
	for (int i = head[k]; i; i = e[i].next) {	// 枚举该结点的每个子结点
		if (vis[e[i].v]) continue;
		calc(e[i].v);
		f[k][1] += f[e[i].v][0];
		f[k][0] += max(f[e[i].v][0], f[e[i].v][1]);
	}
	return;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &f[i][1]);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int l, k;
		scanf("%d%d", &l, &k);
		is_h[l] = 1;
		addedge(k, l);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (!is_h[i]) {	// 从根结点开始DFS
			calc(i);
			printf("%d", max(f[i][1], f[i][0]));
			return 0;
		}
}
```

### 习题

-	[HDU 2196 Computer](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2196)

-	[POJ 1463 Strategic game](http://poj.org/problem?id=1463)

-	[\[POI2014\]FAR-FarmCraft](https://www.luogu.com.cn/problem/P3574)

## 树上背包

树上的背包问题，简单来说就是背包问题与树形 DP 的结合。

### "例题[洛谷 P2014 CTSC1997 选课](https://www.luogu.com.cn/problem/P2014)"
> 现在有 $n$ 门课程，第 $i$ 门课程的学分为 $a_i$ ，每门课程有零门或一门先修课，有先修课的课程需要先学完其先修课，才能学习该课程。
> 
> 一位学生要学习 $m$ 门课程，求其能获得的最多学分数。
> 
>	$n,m \leq 300$

每门课最多只有一门先修课的特点，与有根树中一个点最多只有一个父亲结点的特点类似。

因此可以想到根据这一性质建树，从而所有课程组成了一个森林的结构。为了方便起见，我们可以新增一门 $0$ 学分的课程（设这个课程的编号为 $0$ ），作为所有无先修课课程的先修课，这样我们就将森林变成了一棵以 $0$ 号课程为根的树。

我们设 $f(u,i,j)$ 表示以 $u$ 号点为根的子树中，已经遍历了 $u$ 号点的前 $i$ 棵子树，选了 $j$ 门课程的最大学分。

转移的过程结合了树形 DP 和背包 DP 的特点，我们枚举 $u$ 点的每个子结点 $v$ ，同时枚举以 $v$ 为根的子树选了几门课程，将子树的结果合并到 $u$ 上。

记点 $x$ 的儿子个数为 $s_x$ ，以 $x$ 为根的子树大小为 $\textit{siz_x}$ ，很容易写出下面的转移方程：

$$
f(u,i,j)=\max_{v,k \leq j,k \leq \textit{siz_v}} f(u,i-1,j-k)+f(v,s_v,k)
$$

注意上面转移方程中的几个限制条件，这些限制条件确保了一些无意义的状态不会被访问到。

$f$ 的第二维可以很轻松地用滚动数组的方式省略掉，注意这时需要倒序枚举 $j$ 的值。

我们可以证明，该做法的时间复杂度为 $O(nm)$ [^note1]。

### "参考代码"
```cpp
		#include <algorithm>
		#include <cstdio>
		#include <vector>
		using namespace std;
		int f[305][305], s[305], n, m;
		vector<int> e[305];
		int dfs(int u) {
			int p = 1;
			f[u][1] = s[u];
			for (auto v : e[u]) {
				int siz = dfs(v);
				// 注意下面两重循环的上界和下界
				// 只考虑已经合并过的子树，以及选的课程数超过 m+1 的状态没有意义
				for (int i = min(p, m + 1); i; i--)
					for (int j = 1; j <= siz && i + j <= m + 1; j++)
						f[u][i + j] = max(f[u][i + j], f[u][i] + f[v][j]);
				p += siz;
			}
			return p;
		}
		int main() {
			scanf("%d%d", &n, &m);
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				int k;
				scanf("%d%d", &k, &s[i]);
				e[k].push_back(i);
			}
			dfs(0);
			printf("%d", f[0][m + 1]);
			return 0;
		}
```

### 习题

-	[「CTSC1997」选课](https://www.luogu.com.cn/problem/P2014)

-	[「JSOI2018」潜入行动](https://loj.ac/problem/2546)

-	[「SDOI2017」苹果树](https://loj.ac/problem/2268)

## 换根 DP

树形 DP 中的换根 DP 问题又被称为二次扫描，通常不会指定根结点，并且根结点的变化会对一些值，例如子结点深度和、点权和等产生影响。

通常需要两次 DFS，第一次 DFS 预处理诸如深度，点权和之类的信息，在第二次 DFS 开始运行换根动态规划。

接下来以一些例题来带大家熟悉这个内容。

### "例题 [[POI2008]STA-Station](https://www.luogu.com.cn/problem/P3478)"
> 给定一个 $n$ 个点的树，请求出一个结点，使得以这个结点为根时，所有结点的深度之和最大。

不妨令 $u$ 为当前结点， $v$ 为当前结点的子结点。首先需要用 $s_i$ 来表示以 $i$ 为根的子树中的结点个数，并且有 $s_u=\sum s_v$ 。显然需要一次 DFS 来计算所有的 $s_i$ ，这次的 DFS 就是预处理，我们得到了以某个结点为根时其子树中的结点总数。

考虑状态转移，这里就是体现＂换根＂的地方了。令 $f_u$ 为以 $u$ 为根时，所有结点的深度之和。

$f_v\leftarrow f_u$ 可以体现换根，即以 $u$ 为根转移到以 $v$ 为根。显然在换根的转移过程中，以 $v$ 为根或以 $u$ 为根会导致其子树中的结点的深度产生改变。具体表现为：

- 所有在 $v$ 的子树上的结点深度都减少了一，那么总深度和就减少了 $s_v$ ；

- 所有不在 $v$ 的子树上的结点深度都增加了一，那么总深度和就增加了 $n-s_v$ ；

根据这两个条件就可以推出状态转移方程 $f_v = f_u - s_v + n - s_v=f_u + n - 2 \times s_v$ 。

于是在第二次 DFS 遍历整棵树并状态转移 $f_v=f_u + n - 2 \times s_v$ ，那么就能求出以每个结点为根时的深度和了。最后只需要遍历一次所有根结点深度和就可以求出答案。

### "参考代码"
```cpp
		#include <bits/stdc++.h>
		
		using namespace std;
		
		int head[1000010 << 1], tot;
		long long n, size[1000010], dep[1000010];
		long long f[1000010];
		
		struct node {
			int to, next;
		} e[1000010 << 1];
		
		void add(int u, int v) {
			e[++tot] = node{v, head[u]};
			head[u] = tot;
		}
		
		void dfs(int u, int fa) {
			size[u] = 1;
			dep[u] = dep[fa] + 1;
			for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
				int v = e[i].to;
				if (v != fa) {
					dfs(v, u);
					size[u] += size[v];
				}
			}
		}
		
		void get_ans(int u, int fa) {
			for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
				int v = e[i].to;
				if (v != fa) {
					f[v] = f[u] - size[v] * 2 + n;
					get_ans(v, u);
				}
			}
		}
		
		int main() {
			scanf("%lld", &n);
			int u, v;
			for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
				scanf("%d %d", &u, &v);
				add(u, v);
				add(v, u);
			}
			dfs(1, 1);
			for (int i = 1; i <= n; i++) f[1] += dep[i];
			get_ans(1, 1);
			long long int ans = -1;
			int id;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				if (f[i] > ans) {
					ans = f[i];
					id = i;
				}
			}
			printf("%d\n", id);
			return 0;
		}
```

### 习题

-	[POJ 3585 Accumulation Degree](http://poj.org/problem?id=3585)

-	[\[POI2008\]STA-Station](https://www.luogu.com.cn/problem/P3478)

-	[\[USACO10MAR\]Great Cow Gathering G](https://www.luogu.com.cn/problem/P2986)

-	[CodeForce 708C Centroids](http://codeforces.com/problemset/problem/708/C)

## 参考资料与注释

[^note1]:	[子树合并背包类型的 dp 的复杂度证明 - LYD729 的 CSDN 博客](https://blog.csdn.net/lyd_7_29/article/details/79854245)

WIKIOI

树形 DP - 动态规划