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线段树套线段树 - 数据结构
author: Chrogeek, HeRaNO, Dev-XYS, Dev-jqe ## 常见用途 在算法竞赛中,我们有时需要维护多维度信息。在这种时候,我们经常需要树套树来记录信息。 ## 实现原理 我们考虑用树套树如何实现在二维平面上进行单点修改,区域查询。我们考虑外层的线段树,最底层的 $1$ 到 $n$ 个节点的子树,分别代表第 $1$ 到第 $n$ 行的线段树。那么这些底层的节点对应的父节点,就代表其两个子节点的子树所在的一片区域。 ## 空间复杂度 通常情况下,我们不可能对于外层线段树的每一个结点都建立一颗子线段树,空间需求过大。树套树一般采取动态开点的策略。单次修改,我们会涉及到外层线段树的 $\log{n}$ 个节点,且对于每个节点的子树涉及 $\log{n}$ 个节点,所以单次修改产生的空间最多为 $\log^2{n}$ 。 ## 时间复杂度 对于询问操作,我们考虑我们在外层线段树上进行 $\log{n}$ 次操作,每次操作会在一个内层线段树上进行 $\log{n}$ 次操作,所以时间复杂度为 $\log^2{n}$ 。 修改操作,与询问操作复杂度相同,也为 $\log^2{n}$ 。 ## 经典例题 [陌上花开](https://www.luogu.com.cn/problem/P3810) 将第一维排序处理,然后用树套树维护第二维和第三维。 ## 示例代码 第二维查询 ```cpp int tree_query(int k, int l, int r, int x) { if (k == 0) return 0; if (1 <= l && r <= sec[x].y) return vec_query(ou_root[k], 1, p, 1, sec[x].z); int mid = l + r >> 1, res = 0; if (1 <= mid) res += tree_query(ou_ch[k][0], l, mid, x); if (sec[x].y > mid) res += tree_query(ou_ch[k][1], mid + 1, r, x); return res; } ``` 第二维修改 ```cpp void tree_insert(int &k, int l, int r, int x) { if (k == 0) k = ++ou_tot; vec_insert(ou_root[k], 1, p, sec[x].z); if (l == r) return; int mid = l + r >> 1; if (sec[x].y <= mid) tree_insert(ou_ch[k][0], l, mid, x); else tree_insert(ou_ch[k][1], mid + 1, r, x); } ``` 第三维查询 ```cpp int vec_query(int k, int l, int r, int x, int y) { if (k == 0) return 0; if (x <= l && r <= y) return data[k]; int mid = l + r >> 1, res = 0; if (x <= mid) res += vec_query(ch[k][0], l, mid, x, y); if (y > mid) res += vec_query(ch[k][1], mid + 1, r, x, y); return res; } ``` 第三维修改 ```cpp void vec_insert(int &k, int l, int r, int loc) { if (k == 0) k = ++tot; data[k]++; if (l == r) return; int mid = l + r >> 1; if (loc <= mid) vec_insert(ch[k][0], l, mid, loc); if (loc > mid) vec_insert(ch[k][1], mid + 1, r, loc); } ``` ## 相关算法 面对多维度信息的题目时,如果题目没有要求强制在线,我们还可以考虑 **CDQ 分治** ,或者 **整体二分** 等分治算法,来避免使用高级数据结构,减少代码实现难度。