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极坐标系 - 计算几何
author: Ir1d, HeRaNO, Chrogeek, abc1763613206 ## 极坐标与极坐标系 (本节为人教版高中数学选修 4-4 内容) 我们考虑实际情况,比如航海,我们说「点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30^\circ$ 方向上,距离为 $100$ 米」,而不是「以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系, $B(50,50\sqrt 3)$ 」。 这样,我们在平面上选一定点 $O$ ,称为 **极点** ,自极点引出一条射线 $Ox$ ,称为 **极轴** ,再选择一个单位长度(在数学问题中通常为 $1$ ),一个角度单位(通常为弧度)及其正方向(通常为逆时针方向),这样就建立了 **极坐标系** 。 在极坐标系下,我们怎么描述位置呢? 设 $A$ 为平面上一点,极点 $O$ 与 $A$ 之间的距离 $|OA|$ 即为 **极径** ,记为 $\rho$ ;以极轴为始边, $OA$ 为终边的角 $\angle xOA$ 为 **极角** ,记为 $\theta$ ,那么有序数对 $(\rho,\theta)$ 即为 $A$ 的 **极坐标** 。 由终边相同的角的定义可知, $(\rho,\theta)$ 与 $(\rho,\theta+2k\pi)\ (k\in \mathbb{Z})$ 其实表示的是一样的点,特别地,极点的极坐标为 $(0,\theta)\ (\theta\in \mathbb{R})$ ,于是平面内的点的极坐标表示有无数多种。 如果规定 $\rho>0,0\le \theta<2\pi$ ,那么除极点外,其他平面内的点可以用唯一有序数对 $(\rho,\theta)$ 表示,而极坐标 $(\rho,\theta)$ 表示的点是唯一确定的。 当然,有时候研究极坐标系下的图形有些不方便,我们想要转到直角坐标系下研究,那么我们有互化公式。 点 $A(\rho,\theta)$ 的直角坐标 $(x,y)$ 可以如下表示: $$ \begin{cases} x=\rho \cos \theta\\\\ y=\rho \sin \theta \end{cases} $$ 进而可知: $$ \rho ^2=x^2+y^2\\\\ \tan \theta=\frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0) $$ 于是,极角 $\theta=\arctan \frac{y}{x}$ ,这样就可以求出极角了。 在编程中,若要求反正切函数,尽量使用 `atan2(y, x)` ,这个函数用途比 `atan(x)` 广泛。