格雷码 - 杂项

author: sshwy

格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。举个例子， $3$ 位二进制数的格雷码序列为

$$
000,001,011,010,110,111,101,100
$$

注意序列的下标我们以 $0$ 为起点，也就是说 $G(0)=000,G(4)=110$ 。

格雷码由贝尔实验室的 Frank Gray 于 1940 年代提出，并于 1953 年获得专利。

## 构造格雷码（变换）

格雷码的构造方法很多。我们首先介绍手动构造方法，然后会给出构造的代码以及正确性证明。

### 手动构造

$k$ 位的格雷码可以通过以下方法构造。我们从全 $0$ 格雷码开始，按照下面策略：

1. 翻转最低位得到下一个格雷码，（例如 $000\to 001$ ）；
2. 把最右边的 $1$ 的左边的位翻转得到下一个格雷码，（例如 $001\to 011$ ）；

交替按照上述策略生成 $2^k-1$ 次，可得到 $k$ 位的格雷码序列。

### 镜像构造

$k$ 位的格雷码可以从 $k-1$ 位的格雷码以上下镜射后加上新位的方式快速的得到，如下图：

$$
\begin{matrix}
k=1\\\\
0\\\\ 1\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\end{matrix}
\to \begin{matrix}\\\\
\color{Red}0\\\\\color{Red}1\\\\\color{Blue}1\\\\\color{Blue}0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\end{matrix}
\to \begin{matrix}
k=2\\\\
{\color{Red}0}0\\\\\{\color{Red}0}1\\\\\{\color{Blue}1}1\\\\\{\color{Blue}1}0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\end{matrix}
\to \begin{matrix}\\\\
\color{Red}00\\\\\color{Red}01\\\\\color{Red}11\\\\\color{Red}10\\\\\color{Blue}10\\\\\color{Blue}11\\\\\color{Blue}01\\\\\color{Blue}00
\end{matrix}
\to \begin{matrix}
k=3\\\\
{\color{Red}0}00\\\\\{\color{Red}0}01\\\\\{\color{Red}0}11\\\\\{\color{Red}0}10\\\\\{\color{Blue}1}10\\\\\{\color{Blue}1}11\\\\\{\color{Blue}1}01\\\\\{\color{Blue}1}00
\end{matrix}
$$

### 计算方法

我们观察一下 $n$ 的二进制和 $G(n)$ 。可以发现，如果 $G(n)$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$ ，仅当 $n$ 的二进制第 $i$ 位为 $1$ ，第 $i+1$ 位为 $0$ 或者第 $i$ 位为 $0$ ，第 $i+1$ 位为 $1$ 。于是我们可以当成一个异或的运算，即

$$
G(n)=n\oplus \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
$$

```cpp
int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }
```

### 正确性证明

接下来我们证明一下，按照上述公式生成的格雷码序列，相邻两个格雷码的二进制位有且近有一位不同。

我们考虑 $n$ 和 $n+1$ 的区别。把 $n$ 加 $1$ ，相当于把 $n$ 的二进制下末位的连续的 $1$ 全部变成取反，然后把最低位的 $0$ 变成 $1$ 。我们这样表示 $n$ 和 $n+1$ 的二进制位：

$$
\begin{array}{rll}
(n)_2&=&\cdots0\underbrace{11\cdots11}_{k\text{个}}\\\\
(n+1)_2&=&\cdots1\underbrace{00\cdots00}_{k\text{个}}
\end{array}
$$

于是我们在计算 $g(n)$ 和 $g(n+1)$ 的时侯，后 $k$ 位都会变成 $\displaystyle\underbrace{100\cdots00}_{k\text{个}}$ 的形式，而第 $k+1$ 位是不同的，因为 $n$ 和 $n+1$ 除了后 $k+1$ 位，其他位都是相同的。因此第 $k+1$ 位要么同时异或 $1$ ，要么同时异或 $0$ 。两种情况，第 $k+1$ 位都是不同的。而除了后 $k+1$ 位以外的二进制位也是做相同的异或运算，结果是相同的。

证毕。

## 通过格雷码构造原数（逆变换）

接下来我们考虑格雷码的逆变换，即给你一个格雷码 $g$ ，要求你找到原数 $n$ 。我们考虑从二进制最高位遍历到最低位（最低位下标为 $1$ ，即个位；最高位下标为 $k$ ）。则 $n$ 的二进制第 $i$ 位与 $g$ 的二进制第 $i$ 位 $g_i$ 的关系如下：

$$
\begin{array}{rll}
n_k &= g_k \\\\
n_{k-1} &= g_{k-1} \oplus n_k &= g_k \oplus g_{k-1} \\\\
n_{k-2} &= g_{k-2} \oplus n_{k-1} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \\\\
n_{k-3} &= g_{k-3} \oplus n_{k-2} &= g_k \oplus g_{k-1} \oplus g_{k-2} \oplus g_{k-3} \\\\
&\vdots\\\\
n_{k-i} &=\displaystyle\bigoplus_{j=0}^ig_{k-j}
\end{array}
$$

```cpp
int rev_g(int g) {
	int n = 0;
	for (; g; g >>= 1) n ^= g;
	return n;
}
```

## 实际应用

格雷码有一些十分有用的应用，有些应用让人意想不到：

-	$k$ 位二进制数的格雷码序列可以当作 $k$ 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量）顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。

- 格雷码被用于最小化数字模拟转换器（比如传感器）的信号传输中出现的错误，因为它每次只改变一个位。

-	 格雷码可以用来解决汉诺塔的问题。

设盘的数量为 $n$ 。我们从 $n$ 位全 $0$ 的格雷码 $G(0)$ 开始，依次移向下一个格雷码（ $G(i)$ 移向 $G(i+1)$ ）。当前格雷码的二进制第 $i$ 位表示从小到大第 $i$ 个盘子。

由于每一次只有一个二进制位会改变，因此当第 $i$ 位改变时，我们移动第 $i$ 个盘子。在移动盘子的过程中，除了最小的盘子，其他任意一个盘子在移动的时侯，只能有一个放置选择。在移动第一个盘子的时侯，我们总是有两个放置选择。于是我们的策略如下：

如果 $n$ 是一个奇数，那么盘子的移动路径为 $f\to t\to r\to f\to t\to r\to\cdots$ ，其中 $f$ 是最开始的柱子， $t$ 是最终我们把所有盘子放到的柱子， $r$ 是中间的柱子。

如果 $n$ 是偶数： $f \to r \to t \to f \to r \to t \to \cdots$

- 格雷码也在遗传算法理论中得到应用。

## 习题

-	[CSP S2 2019 D1T1](https://www.luogu.com.cn/problem/P5657) Difficulty: easy

-	[SGU #249 Matrix](http://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/249) Difficulty: medium

> 本页面部分内容译自博文 [Код Грея](http://e-maxx.ru/algo/gray_code) 与其英文翻译版 [Gray code](https://cp-algorithms.com/algebra/gray-code.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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