WIKIOI
wiki(I:)
比赛相关
工具软件
语言基础
算法基础
搜索
动态规划
字符串
数学
数据结构
图论
计算几何
杂项
专题
字符串部分简介
字符串基础
标准库
字符串匹配
字符串哈希
字典树 (Trie)
前缀函数与 KMP 算法
Boyer-Moore算法
Z 函数(扩展 KMP)
自动机
AC 自动机
后缀数组 (SA)
后缀自动机 (SAM)
广义后缀自动机
后缀树
Manacher
回文树
序列自动机
最小表示法
Lyndon 分解
20 objects
本站非官方,所收集资源均来源于网络。
Manacher - 字符串
## 描述 给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ,请找到所有对 $(i, j)$ 使得子串 $s[i \dots j]$ 为一个回文串。当 $t = t_{\text{rev}}$ 时,字符串 $t$ 是一个回文串( $t_{\text{rev}}$ 是 $t$ 的反转字符串)。 ## 更进一步的描述 显然在最坏情况下可能有 $O(n^2)$ 个回文串,因此似乎一眼看过去该问题并没有线性算法。 但是关于回文串的信息可用 **一种更紧凑的方式** 表达:对于每个位置 $i = 0 \dots n - 1$ ,我们找出值 $d_1[i]$ 和 $d_2[i]$ 。二者分别表示以位置 $i$ 为中心的长度为奇数和长度为偶数的回文串个数。换个角度,二者也表示了以位置 $i$ 为中心的最长回文串的半径长度(半径长度 $d_1[i]$ , $d_2[i]$ 均为从位置 $i$ 到回文串最右端位置包含的字符个数)。 举例来说,字符串 $s = \mathtt{abababc}$ 以 $s[3] = b$ 为中心有三个奇数长度的回文串,最长回文串半径为 $3$ ,也即 $d_1[3] = 3$ : $$ a\ \overbrace{b\ a\ \underset{s_3}{b}\ a\ b}^{d_1[3]=3}\ c $$ 字符串 $s = \mathtt{cbaabd}$ 以 $s[3] = a$ 为中心有两个偶数长度的回文串,最长回文串半径为 $2$ ,也即 $d_2[3] = 2$ : $$ c\ \overbrace{b\ a\ \underset{s_3}{a}\ b}^{d_2[3]=2}\ d $$ 因此关键思路是,如果以某个位置 $i$ 为中心,我们有一个长度为 $l$ 的回文串,那么我们有以 $i$ 为中心的长度为 $l - 2$ , $l - 4$ ,等等的回文串。所以 $d_1[i]$ 和 $d_2[i]$ 两个数组已经足够表示字符串中所有子回文串的信息。 一个令人惊讶的事实是,存在一个复杂度为线性并且足够简单的算法计算上述两个“回文性质数组” $d_1[]$ 和 $d_2[]$ 。在这篇文章中我们将详细的描述该算法。 ## 解法 总的来说,该问题具有多种解法:应用字符串哈希,该问题可在 $O(n \log n)$ 时间内解决,而使用后缀数组和快速 LCA 该问题可在 $O(n)$ 时间内解决。 但是这里描述的算法 **压倒性** 的简单,并且在时间和空间复杂度上具有更小的常数。该算法由 **Glenn K. Manacher** 在 1975 年提出。 ## 朴素算法 为了避免在之后的叙述中出现歧义,这里我们指出什么是“朴素算法”。 该算法通过下述方式工作:对每个中心位置 $i$ ,在比较一对对应字符后,只要可能,该算法便尝试将答案加 $1$ 。 该算法是比较慢的:它只能在 $O(n^2)$ 的时间内计算答案。 该朴素算法的实现如下: ```cpp vector
d1(n), d2(n); for (int i = 0; i < n; i++) { d1[i] = 1; while (0 <= i - d1[i] && i + d1[i] < n && s[i - d1[i]] == s[i + d1[i]]) { d1[i]++; } d2[i] = 0; while (0 <= i - d2[i] - 1 && i + d2[i] < n && s[i - d2[i] - 1] == s[i + d2[i]]) { d2[i]++; } } ``` ## Manacher 算法 这里我们将只描述算法中寻找所有奇数长度子回文串的情况,即只计算 $d_1[]$ ;寻找所有偶数长度子回文串的算法(即计算数组 $d_2[]$ )将只需对奇数情况下的算法进行一些小修改。 为了快速计算,我们维护已找到的最靠右的子回文串的 **边界 $(l, r)$ ** (即具有最大 $r$ 值的回文串,其中 $l$ 和 $r$ 分别为该回文串左右边界的位置)。初始时,我们置 $l = 0$ 和 $r = -1$ (*-1*需区别于倒序索引位置,这里可为任意负数,仅为了循环初始时方便)。 现在假设我们要对下一个 $i$ 计算 $d_1[i]$ ,而之前所有 $d_1[]$ 中的值已计算完毕。我们将通过下列方式计算: - 如果 $i$ 位于当前子回文串之外,即 $i > r$ ,那么我们调用朴素算法。 因此我们将连续地增加 $d_1[i]$ ,同时在每一步中检查当前的子串 $[i - d_1[i] \dots i + d_1[i]]$ ( $d_1[i]$ 表示半径长度,下同)是否为一个回文串。如果我们找到了第一处对应字符不同,又或者碰到了 $s$ 的边界,则算法停止。在两种情况下我们均已计算完 $d_1[i]$ 。此后,仍需记得更新 $(l, r)$ 。 - 现在考虑 $i \le r$ 的情况。我们将尝试从已计算过的 $d_1[]$ 的值中获取一些信息。首先在子回文串 $(l, r)$ 中反转位置 $i$ ,即我们得到 $j = l + (r - i)$ 。现在来考察值 $d_1[j]$ 。因为位置 $j$ 同位置 $i$ 对称,我们 **几乎总是** 可以置 $d_1[i] = d_1[j]$ 。该想法的图示如下(可认为以 $j$ 为中心的回文串被“拷贝”至以 $i$ 为中心的位置上): $$ \ldots\ \overbrace{ s_l\ \ldots\ \underbrace{ s_{j-d_1[j]+1}\ \ldots\ s_j\ \ldots\ s_{j+d_1[j]-1} }_\text{palindrome}\ \ldots\ \underbrace{ s_{i-d_1[j]+1}\ \ldots\ s_i\ \ldots\ s_{i+d_1[j]-1} }_\text{palindrome}\ \ldots\ s_r }^\text{palindrome}\ \ldots $$ 然而有一个 **棘手的情况** 需要被正确处理:当“内部”的回文串到达“外部”回文串的边界时,即 $j - d_1[j] + 1 \le l$ (或者等价的说, $i + d_1[j] - 1 \ge r$ )。因为在“外部”回文串范围以外的对称性没有保证,因此直接置 $d_1[i] = d_1[j]$ 将是不正确的:我们没有足够的信息来断言在位置 $i$ 的回文串具有同样的长度。 实际上,为了正确处理这种情况,我们应该“截断”回文串的长度,即置 $d_1[i] = r - i$ 。之后我们将运行朴素算法以尝试尽可能增加 $d_1[i]$ 的值。 该种情况的图示如下(以 $j$ 为中心的回文串已经被截断以落在“外部”回文串内): $$ \ldots\ \overbrace{ \underbrace{ s_l\ \ldots\ s_j\ \ldots\ s_{j+(j-l)} }_\text{palindrome}\ \ldots\ \underbrace{ s_{i-(r-i)}\ \ldots\ s_i\ \ldots\ s_r }_\text{palindrome} }^\text{palindrome}\ \underbrace{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }_\text{try moving here} $$ 该图示显示出,尽管以 $j$ 为中心的回文串可能更长,以致于超出“外部”回文串,但在位置 $i$ ,我们只能利用其完全落在“外部”回文串内的部分。然而位置 $i$ 的答案可能比这个值更大,因此接下来我们将运行朴素算法来尝试将其扩展至“外部”回文串之外,也即标识为 "try moving here" 的区域。 最后,仍有必要提醒的是,我们应当记得在计算完每个 $d_1[i]$ 后更新值 $(l, r)$ 。 同时,再让我们重复一遍:计算偶数长度回文串数组 $d_2[]$ 的算法同上述计算奇数长度回文串数组 $d_1[]$ 的算法十分类似。 ## Manacher 算法的复杂度 因为在计算一个特定位置的答案时我们总会运行朴素算法,所以一眼看去该算法的时间复杂度为线性的事实并不显然。 然而更仔细的分析显示出该算法具有线性复杂度。此处我们需要指出, [计算 Z 函数的算法](#) 和该算法较为类似,并同样具有线性时间复杂度。 实际上,注意到朴素算法的每次迭代均会使 $r$ 增加 $1$ ,以及 $r$ 在算法运行过程中从不减小。这两个观察告诉我们朴素算法总共会进行 $O(n)$ 次迭代。 Manacher 算法的另一部分显然也是线性的,因此总复杂度为 $O(n)$ 。 ## Manacher 算法的实现 ### 分类讨论 为了计算 $d_1[]$ ,我们有以下代码: ```cpp vector
d1(n); for (int i = 0, l = 0, r = -1; i < n; i++) { int k = (i > r) ? 1 : min(d1[l + r - i], r - i); while (0 <= i - k && i + k < n && s[i - k] == s[i + k]) { k++; } d1[i] = k--; if (i + k > r) { l = i - k; r = i + k; } } ``` 计算 $d_2[]$ 的代码十分类似,但是在算术表达式上有些许不同: ```cpp vector
d2(n); for (int i = 0, l = 0, r = -1; i < n; i++) { int k = (i > r) ? 0 : min(d2[l + r - i + 1], r - i + 1); while (0 <= i - k - 1 && i + k < n && s[i - k - 1] == s[i + k]) { k++; } d2[i] = k--; if (i + k > r) { l = i - k - 1; r = i + k; } } ``` ### 统一处理 虽然在讲解过程及上述实现中我们将 $d_1[]$ 和 $d_2[]$ 的计算分开考虑,但实际上可以通过一个技巧将二者的计算统一为 $d_1[]$ 的计算。 给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ,我们在其 $n + 1$ 个空中插入分隔符 $\#$ ,从而构造一个长度为 $2n + 1$ 的字符串 $s'$ 。举例来说,对于字符串 $s = \mathtt{abababc}$ ,其对应的 $s' = \mathtt{\#a\#b\#a\#b\#a\#b\#c\#}$ 。 对于字母间的 $\#$ ,其实际意义为 $s$ 中对应的“空”。而两端的 $\#$ 则是为了实现的方便。 注意到,在对 $s'$ 计算 $d_1[]$ 后,对于一个位置 $i$ , $d_1[i]$ 所描述的最长的子回文串必定以 $\#$ 结尾(若以字母结尾,由于字母两侧必定各有一个 $\#$ ,因此可向外扩展一个得到一个更长的)。因此,对于 $s$ 中一个以字母为中心的极大子回文串,设其长度为 $m + 1$ ,则其在 $s'$ 中对应一个以相应字母为中心,长度为 $2m + 3$ 的极大子回文串;而对于 $s$ 中一个以空为中心的极大子回文串,设其长度为 $m$ ,则其在 $s'$ 中对应一个以相应表示空的 $\#$ 为中心,长度为 $2m + 1$ 的极大子回文串(上述两种情况下的 $m$ 均为偶数,但该性质成立与否并不影响结论)。综合以上观察及少许计算后易得,在 $s'$ 中, $d_1[i]$ 表示在 $s$ 中以对应位置为中心的极大子回文串的 **总长度加一** 。 上述结论建立了 $s'$ 的 $d_1[]$ 同 $s$ 的 $d_1[]$ 和 $d_2[]$ 间的关系。 由于该统一处理本质上即求 $s'$ 的 $d_1[]$ ,因此在得到 $s'$ 后,代码同上节计算 $d_1[]$ 的一样。 ## 练习题目 - [UVA #11475 "Extend to Palindrome"](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2470) - [「国家集训队」最长双回文串](https://www.luogu.com.cn/problem/P4555) * * * **本页面主要译自博文 [Нахождение всех подпалиндромов](http://e-maxx.ru/algo/palindromes_count) 与其英文翻译版 [Finding all sub-palindromes in $O(N)$ ](https://cp-algorithms.com/string/manacher.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**