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进位制 - 数学
在计算机中,除了二进制,比较常用的还有八进制和十六进制。 ## 二进制 二进制是计算机内部运算中采用的进制,在这样的进制系统下,只有 $0,1$ 两个数字,计算机内部的所有运算(包括位运算)都是在二进制的基础上进行的。 但用二进制表示数字会让数字过长,因此为了方便表示的需要,通常会把二进制数转换为八进制或十六进制表示。 ## 八进制 在八进制下,有 $0,1,2,3,4,5,6,7$ 八个数字。 一般情况下,八进制数以 `oxx` (其中 `o` 为八进制的前缀, `xx` 代表八进制数)的形式来表示。 ## 十六进制 在十六进制下,有 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)$ 十六个数字。 十六进制与二进制相比,最大的优点就是表示的数字长度较短,一位十六进制数可以表示 4 位二进制数。 一般情况下,十六进制数以 `0xdbf` (其中 `0x` 为十六进制数的前缀)的形式来表示。 ## 进制间的相互转化 ### 十进制转二进制/八进制/十六进制 这里以二进制为例来演示,其他进制的原理与其类似。 整数部分,把十进制数不断执行除 2 操作,直至商数为 0。读余数从下读到上,即是二进制的整数部分数字。小数部分,则用其乘 2,取其整数部分的结果,再用计算后的小数部分依此重复计算,算到小数部分全为 0 为止,之后从上到下,读所有计算后整数部分的数字,即为二进制的小数部分数字。 ```text 将33.25转化为二进制数 整数部分: 33/2=16 ......1 16/2=8 ......0 8/2=4 ......0 4/2=2 ......0 2/2=1 ......0 1/2=0 ......1 小数部分: 0.25*2=0.5 0 0.5*2=1 1 ``` 即 $33.25 = (100001.01)_2$ ### 二进制/八进制/十六进制转十进制 还是以二进制为例。 二进制数转换为十进制数,只需将每个位的值,乘以 $2^i$ 次即可,其中 $i$ 为当前位的位数,个位的位数为 0。 ```text 将11010.01(2)转换为十进制数 11010.01(2)=1*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0+0*2^(-1)+1*2(-2) =26.25 ``` 即 $(11010)_2 = (26.25)_{10}$ ### 二进制/八进制/十六进制间的相互转换 一个八进制位可以用 3 个二进制位来表示(因为 $2^3 =8$ ),一个十六进制位可以用 4 个二进制位来表示( $2^4 = 16$ ),反之同理。