符号 - 数学

author: sshwy, hsfzLZH1, Enter-tainer

在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。

### 渐进符号

请参见 [复杂度](../misc/complexity.md#_1) 。

### 整除/同余理论常见符号

1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。
2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。
3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。
4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。
5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。

### 数论函数常见符号

求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：

-	$\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 **正整数或者非负整数** （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。
-	$\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。
-	$\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。

求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：

-	$\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。
-	$\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。
-	$\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。

在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。

### 其他常见符号

1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。特别地， $0!=1$ 。
2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。
3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。

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