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常系数齐次线性递推 - 数学
### 问题 给定一个线性递推数列 $\\{f_i\\}$ 的前 $k$ 项 $f_0\dots f_{k-1}$ ,和其递推式 $f_n=\sum_{i=1}^k f_{n-i}a_i$ 的各项系数 $a_i$ ,求 $f_n$ 。 ### 前置知识 [多项式取模](#) 。 ### 做法 定义 $F(\sum c_ix^i)=\sum c_if_i$ ,那么答案就是 $F(x^n)$ 。 由于 $f_n=\sum_{i=1}^{k}f_{n-i}a_i$ ,所以 $F(x^n)=F(\sum_{i=1}^{k}a_ix^{n-i})$ ,所以 $F(x^n-\sum_{i=1}^k a_ix^{n-i})=F(x^{n-k}(x^k-\sum_{i=0}^{k-1}a_{k-i}x^i))=0$ 。 设 $G(x)=x^k-\sum_{i=0}^{k-1}a_{k-i}x^i$ 。 那么 $F(A(x)+x^nG(x))=F(A(x))+F(x^nG(x))=F(A(x))$ 。 那么就可以通过多次对 $A(x)$ 加上 $x^nG(x)$ 的倍数来降低 $A(x)$ 的次数。 也就是求 $F(A(x)\bmod G(x))$ 。 $A(x)\bmod G(x)$ 的次数不超过 $k-1$ ,而 $f_{0..k-1}$ 已经给出了,就可以算了。 问题转化成了快速地求 $x^n\bmod G(x)$ ,只要将 [普通快速幂](#) 中的乘法与取模换成 [多项式乘法](#) 与 [多项式取模](#) 就可以在 $O(k\log k\log n)$ 的时间复杂度内解决这个问题了。