快速沃尔什变换 - 数学

author: Xeonacid

（本文转载自 [桃酱的算法笔记](https://zhuanlan.zhihu.com/c_1005817911142838272) ，原文戳 [链接](https://zhuanlan.zhihu.com/p/41867199) ，已获得作者授权）

## 简介

> 沃尔什转换（Walsh Transform）是在频谱分析上作为离散傅立叶变换的替代方案的一种方法。—— [维基百科](https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B2%83%E7%88%BE%E4%BB%80%E8%BD%89%E6%8F%9B)

其实这个变换在信号处理中应用很广泛，fft 是 double 类型的，但是 walsh 把信号在不同震荡频率方波下拆解，因此所有的系数都是绝对值大小相同的整数，这使得不需要作浮点数的乘法运算，提高了运算速度。

所以，FWT 和 FFT 的核心思想应该是相同的，都是对数组的变换。我们记对数组 $A$ 进行快速沃尔什变换后得到的结果为 $FWT[A]$ 。

那么 FWT 核心思想就是：

我们需要一个新序列 $C$ ，由序列 $A$ 和序列 $B$ 经过某运算规则得到，即 $C = A \cdot B$ ；

我们先正向得到 $FWT[A], FWT[B]$ ，再根据 $FWT[C]=FWT[A] \cdot FWT[B]$ 在 $O(n)$ 的时间复杂度内求出 $FWT[C]$ ；

然后逆向运算得到原序列 $C$ 。时间复杂度为 $O(n \log{n})$ 。

在算法竞赛中，FWT 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法。

公式： $C_{i} = \sum_{i=j \bigoplus k}A_{j} B_{k}$

（其中 $\bigoplus$ 是二元位运算中的某一种， $*$ 是普通乘法）

## FWT 的运算

### FWT 之与（&）运算和或（|）运算

与运算和或运算的本质是差不多的，所以这里讲一下或运算，与运算也是可以自己根据公式 yy 出来的。

### 或运算

如果有 $k=i|j$ ，那么 $i$ 的二进制位为 $1$ 的位置和 $j$ 的二进制位为 $1$ 的位置肯定是 $k$ 的二进制位为 $1$ 的位置的子集。

现在要得到 $FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]$ ，我们就要构造这个 fwt 的规则。

我们按照定义，显然可以构造 $FWT[A] = A' = \sum_{i=i|j}A_{j}$ ，来表示 $j$ 满足二进制中 $1$ 为 $i$ 的子集。

那么显然会有 $C_{i} = \sum_{i=j|k}A_{j}*B_{k} \Rightarrow FWT[C] = FWT[A] * FWT[B]$

那么我们接下来看 $FWT[A]$ 怎么求。

首先肯定不能枚举了，复杂度为 $O(n^2)$ 。既然不能整体枚举，我们就考虑分治。

我们把整个区间二分，其实二分区间之后，下标写成二进制形式是有规律可循的。

我们令 $A_0$ 表示 $A$ 的前一半， $A_1$ 表示区间的后一半，那么 $A_0$ 就是 A 下标最大值的最高位为 $0$ ，他的子集就是他本身的子集（因为最高位为 $0$ 了），但是 $A_1$ 的最高位是 $1$ ，他满足条件的子集不仅仅是他本身，还包最高位为 $0$ 的子集，即

$$
FWT[A] = merge(FWT[A_0], FWT[A_0] + FWT[A_1])
$$

其中 merge 表示像字符串拼接一样把它们拼起来， $+$ 就是普通加法，表示对应二进制位相加。

这样我们就通过二分能在 $O(\log{n})$ 的时间复杂度内完成拼接，每次拼接的时候要完成一次运算，也就是说在 $O(n\log{n})$ 的时间复杂度得到了 $FWT[A]$ 。

接下来就是反演了，其实反演是很简单的，既然知道了 $A_0$ 的本身的子集是他自己 ( $A_0 = FAT[A_0]$ )， $A_1$ 的子集是 $FAT[A_0] + FAT[A_1]（A_1'= A_0' + A_1'$ ），那就很简单的得出反演的递推式了：

$$
UFWT[A'] = merge(UFWT[A_0'], UFWT[A_1'] - UFWT[A_0'])
$$

### 与运算

与运算类比或运算可以得到类似结论

$$
FWT[A] = merge(FWT[A_0] + FWT[A_1], FWT[A_1])
$$

$$
UFWT[A'] = merge(UFWT[A_0'] - UFWT[A_1'], UFWT[A_1'])
$$

### 异或运算

最常考的异或运算。

异或的卷积是基于如下原理：

若我们令 $i\And j$ 中 $1$ 数量的奇偶性为 $i$ 与 $j$ 的奇偶性，那么 $i$ 与 $k$ 的奇偶性异或 $j$ 和 $k$ 的奇偶性等于 $i \operatorname{xor} j$ 和 $k$ 的奇偶性。

对于 $FWT[A]$ 的运算其实也很好得到。

公式如下：

$A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}$ ( $C_1$ 表示 $i \And j$ 奇偶性为 $0$ ， $C_2$ 表示 $i \And j$ 的奇偶性为 $1$ )

结论：

$$
FWT[A] = merge(FWT[A_0] + FWT[A_1], FWT[A_0] - FWT[A_1])
$$

$$
UFWT[A'] = merge(\frac{FWT[A_0'] + FWT[A_1']}{2}, \frac{FWT[A_0'] - FWT[A_1']}{2})
$$

### 同或运算

类比异或运算给出公式：

$A_{i} = \sum_{C_1}A_{j} - \sum_{C_2}A_{j}$ ( $C_1$ 表示 $i|j$ 奇偶性为 $0$ ， $C_2$ 表示 $i|j$ 的奇偶性为 $1$ )

$$
FWT[A] = merge(FWT[A_1] - FWT[A_0], FWT[A_1] + FWT[A_0])
$$

$$
UFWT[A'] = merge(\frac{FWT[A_1'] - FWT[A_0']}{2}, \frac{FWT[A_1'] + FWT[A_0']}{2})
$$

WIKIOI

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