计数排序 - 算法基础

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> 本页面要介绍的不是 [ **基数排序** ](#) 。

本页面将简要介绍计数排序。

## 简介

计数排序（英语：Counting sort）是一种线性时间的排序算法。

## 工作原理

计数排序的工作原理是使用一个额外的数组 $C$ ，其中第 $i$ 个元素是待排序数组 $A$ 中值等于 $i$ 的元素的个数，然后根据数组 $C$ 来将 $A$ 中的元素排到正确的位置。[^ref1]

它的工作过程分为三个步骤：

1. 计算每个数出现了几次；
2. 求出每个数出现次数的 [前缀和](#) ；
3. 利用出现次数的前缀和，从右至左计算每个数的排名。

## 性质

### 稳定性

计数排序是一种稳定的排序算法。

### 时间复杂度

计数排序的时间复杂度为 $O(n+w)$ ，其中 $w$ 代表待排序数据的值域大小。

## 代码实现

### 伪代码

$$
\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Input. } \text{An array } A \text{ consisting of }n\text{ positive integers no greater than } w. \\\\
2 & \textbf{Output. } \text{Array }A\text{ after sorting in nondecreasing order stably.} \\\\
3 & \textbf{Method. }	\\\\
4 & \textbf{for }i\gets0\textbf{ to }w\\\\
5 & \qquad cnt[i]\gets0\\\\
6 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }n\\\\
7 & \qquad cnt[A[i]]\gets cnt[A[i]]+1\\\\
8 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }w\\\\
9 & \qquad cnt[i]\gets cnt[i]+cnt[i-1]\\\\
10 & \textbf{for }i\gets n\textbf{ downto }1\\\\
11 & \qquad B[cnt[A[i]]]\gets A[i]\\\\
12 & \qquad cnt[A[i]]\gets cnt[A[i]]-1\\\\
13 & \textbf{return } B
\end{array}
$$

### C++

```cpp
const int N = 100010;
const int W = 100010;

int n, w, a[N], cnt[W], b[N];

void counting_sort() {
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ++cnt[a[i]];
	for (int i = 1; i <= w; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];
	for (int i = n; i >= 1; --i) b[cnt[a[i]]--] = a[i];
}
```

## 参考资料与注释

[^ref1]:	[计数排序 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AE%A1%E6%95%B0%E6%8E%92%E5%BA%8F)

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