排序相关 STL - 算法基础

本页面将简要介绍 C 和 C++ 标准库中实现的排序算法。

除已说明的函数外，本页所列函数默认定义于头文件 `<algorithm>` 中。

## qsort

参见： [ `qsort` ](https://zh.cppreference.com/w/c/algorithm/qsort) ， [ `std::qsort` ](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/qsort)

该函数为 C 标准库实现的 [快速排序](#) ，定义在 `<stdlib.h>` 中。在 C++ 标准库里，该函数定义在 `<cstdlib>` 中。

## std::sort

参见： [ `std::sort` ](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort)

用法：

```cpp
// a[0] .. a[n - 1] 为需要排序的数列
// 对 a 原地排序，将其按从小到大的顺序排列
std::sort(a, a + n);

// cmp 为自定义的比较函数
std::sort(a, a + n, cmp);
```

更为常见的库排序函数是 `std::sort` 函数。该函数的最后一个参数为二元比较函数，未指定 cmp 函数时，默认按从小到大的顺序排序。

旧版 C++ 标准中仅要求它的 **平均** 时间复杂度达到 $O(n\log n)$ 。C++11 标准以及后续标准要求它的 **最坏** 时间复杂度达到 $O(n\log n)$ 。

C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法，具体实现取决于编译器。 [libstdc++](https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libstdc++-v3/include/bits/stl_algo.h) 和 [libc++](http://llvm.org/svn/llvm-project/libcxx/trunk/include/algorithm) 中的实现算法都是 [内省排序](quick-sort.md#内省排序[^ref3]) 。

## std::nth_element

参见： [ `std::nth_element` ](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/nth_element)

用法：

```cpp
std::nth_element(first, nth, last);
std::nth_element(first, nth, last, cmp);
```

它重排 $[first, last)$ 中的元素，使得 $nth$ 所指向的元素被更改为 $[first, last)$ 排好序后该位置会出现的元素。这个新的 $nth$ 元素前的所有元素小于或等于新的 $nth$ 元素后的所有元素。

实现算法是未完成的内省排序。

对于以上两种用法，C++ 标准要求它的平均时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 n = `std::distance(first, last)` 。

它常用于构建 [K-D Tree](/ds/kdt/) 。

## std::stable_sort

参见： [ `std::stable_sort` ](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/stable_sort)

用法：

```cpp
std::stable_sort(first, last);
std::stable_sort(first, last, cmp);
```

稳定排序，保证相等元素排序后的相对位置与原序列相同。

时间复杂度为 $O(n\log (n)^2)$ ，当额外内存可用时，复杂度为 $O(n\log n)$ 。

## std::partial_sort

参见： [ `std::partial_sort` ](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/partial_sort)

用法：

```cpp
std::partial_sort(first, mid, last);
std::partial_sort(first, mid, last, cmp);
```

将序列中前 $k$ 元素按 cmp 给定的顺序进行原地排序，后面的元素不保证顺序。未指定 cmp 函数时，默认按从小到大的顺序排序。

复杂度：约 $(last-first)\log(mid-first)$ 次应用 `cmp` 。

原理：

`std::partial_sort` 的思想是：对原始容器内区间为 $[first, mid)$ 的元素执行 `make_heap()` 操作，构造一个大根堆，然后将 $[mid, last)$ 中的每个元素和 $first$ 进行比较，保证 $first$ 内的元素为堆内的最大值。如果小于该最大值，则互换元素位置，并对 $[first, mid)$ 内的元素进行调整，使其保持最大堆序。比较完之后，再对 $[first, mid)$ 内的元素做一次对排序 `sort_heap()` 操作，使其按增序排列。注意，堆序和增序是不同的。

## 定义运算符

参见： [运算符重载](https://zh.cppreference.com/w/cpp/language/operators)

内置类型（如 `int` ）和用户定义的结构体允许定制调用 STL 排序函数时使用的比较函数。可以在调用该函数时，在最后一个参数中传入一个实现二元比较的函数。

对于用户定义的结构体，对其使用 STL 排序函数前必须定义至少一种关系运算符，或是在使用函数时提供二元比较函数。通常推荐定义 `operator<` 。[^note1]

示例：

```cpp
int a[1009], n = 10;
// ......
std::sort(a + 1, a + 1 + n);									// 从小到大排序。
std::sort(a + 1, a + 1 + n, greater<int>());	// 从大到小排序。
```

```cpp
struct data {
	int a, b;
	bool operator<(const data rhs) const {
		return (a == rhs.a) ? (b < rhs.b) : (a < rhs.a);
	}
} da[1009];

bool cmp(const data u1, const data u2) {
	return (u1.a == u2.a) ? (u1.b > u2.b) : (u1.a > u2.a);
}

// ......
std::sort(da + 1, da + 1 + 10);	// 使用结构体中定义的 < 运算符，从小到大排序。
std::sort(da + 1, da + 1 + 10, cmp);	// 使用 cmp 函数进行比较，从大到小排序。
```

### 严格弱序

参见： [Strict weak orderings](https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_ordering#Strict_weak_orderings)

进行排序的运算符必须满足严格弱序，否则会出现不可预料的情况（如运行时错误、无法正确排序）。

严格弱序的要求：

1.	$x \not< x$ （非自反性）
2. 若 $x < y$ ，则 $y \not< x$ （非对称性）
3. 若 $x < y, y < z$ ，则 $x < z$ （传递性）
4. 若 $x \not< y, y \not< x, y \not< z, z \not< y$ ，则 $x \not< z, z \not< x$ （不可比性的传递性）

常见的错误做法：

- 使用 `<=` 来定义排序中的小于运算符。
- 在调用排序运算符时，读取外部数值可能会改变的数组（常见于最短路算法）。
- 将多个数的最大最小值进行比较的结果作为排序运算符（如皇后游戏/加工生产调度 中的经典错误）。

## 外部链接

-	[浅谈邻项交换排序的应用以及需要注意的问题](https://ouuan.github.io/浅谈邻项交换排序的应用以及需要注意的问题/)

## 参考资料与注释

[^note1]: 因为大部分标准算法默认使用 `operator<` 进行比较。

WIKIOI

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