最小直径生成树 - 图论

在学习最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree）前建议先阅读 [树的直径](#) 的内容。

在无向图的所有生成树中，直径最小的那一棵生成树就是最小直径生成树。

## 图的绝对中心

求解直径最小生成树，首先需要找到 **图的绝对中心** ， **图的绝对中心** 可以存在于一条边上或某个结点上，该中心到所有点的最短距离的最大值最小。

根据 **图的绝对中心** 的定义可以知道，到绝对中心距离最远的结点至少有两个。

令 `d[i][j]` 为顶点 $i,j$ 间的最短路径长，通过多源最短路算法求出所有结点的最短路。

`rk[i][j]` 记录点 $i$ 到其他所有结点中第 $j$ 小的那个结点。

图的绝对中心可能在某条边上，枚举每一条边 $w=(u,v)$ ，并且假设图的绝对中心 $c$ 就在这条边上。那么距离 $u$ 的长度为 $x$ ( $x \leq w$ )，距离 $v$ 的长度就是 $w - x$ 。

对于图中的任意一点 $i$ ，图的绝对中心 $c$ 到 $i$ 的距离为 $d(c,i)=\min(d(u,i) + x, d(v,i) + (w - x))$ 。

举例一个结点 $i$ ，该结点与图的绝对中心的位置关系如下图。

![mdst1](../images/mdst-1.png)

随着图的绝对中心 $c$ 在边上的改变会生成一个距离与 $c$ 位置的函数图像。显然的，当前的 $d(c,i)$ 的函数图像是一个两条斜率相同的线段构成的折线段。

![mdst2](../images/mdst-2.png)

对于图上的任意一结点，图的绝对中心到最远距离结点的函数就写作 $f = \max\\{ d(c,i)\\},i \in[1,n]$ ，其函数图像如下。

![mdst3](../images/mdst-3.png)

并且这些折线交点中的最低点，横坐标就是图的绝对中心的位置。

图的绝对中心可能在某个结点上，用距离预选结点最远的那个结点来更新，即 $\textit{ans}\leftarrow \min(\textit{ans},d(i,\textit{rk}(i,1))\times 2)$ 。

### 算法流程

1. 使用多源最短路算法（ [Floyd](shortest-path.md#floyd) ， [Johnson](shortest-path.md#johnson) 等），求出 $d$ 数组；

2. 求出 `rk[i][j]` ，并将其升序排序；

3. 图的绝对中心可能在某个结点上，用距离预选结点最远的那个结点来更新，遍历所有结点并用 $\textit{ans}\leftarrow \min(\textit{ans},d(i,\textit{rk}(i,1)) \times 2)$ 更新最小值。

4. 图的绝对中心可能在某条边上，枚举所有的边。对于一条边 $w(u,j)$ 从距离 $u$ 最远的结点开始更新。当出现 $d(v,\textit{rk}(u,i)) > d(v,\textit{rk}(u,i-1))$ 的情况时，用 $\textit{ans}\leftarrow	\min(\textit{ans}, d(v,\textit{rk}(u,i))+d(v,\textit{rk}(u,i-1))+w(i,j))$ 来更新。因为这种情况会使图的绝对中心改变。

### "参考实现"
```cpp
		bool cmp(int a, int b) { return val[a] < val[b]; }
		
		void Floyd() {
			for (int k = 1; k <= n; k++)
				for (int i = 1; i <= n; i++)
					for (int j = 1; j <= n; j++) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
		}
		
		void solve() {
			Floyd();
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				for (int j = 1; j <= n; j++) {
					rk[i][j] = j;
					val[j] = d[i][j];
				}
				sort(rk[i] + 1, rk[i] + 1 + n, cmp);
			}
			int ans = INF;
			// 图的绝对中心可能在结点上
			for (int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, d[i][rk[i][n]] * 2);
			// 图的绝对中心可能在边上
			for (int i = 1; i <= m; i++) {
				int u = a[i].u, v = a[i].v, w = a[i].w;
				for (int p = n, i = n - 1; i >= 1; i--) {
					if (d[v][rk[u][i]] > d[v][rk[u][p]]) {
						ans = min(ans, d[u][rk[u][i]] + d[v][rk[u][p]] + w);
						p = i;
					}
				}
			}
		}
```

### 例题

-	[CodeForce 266D BerDonalds](https://codeforces.ml/contest/266/problem/D)

## 最小直径生成树

根据图的绝对中心的定义，容易得知图的绝对中心是最小直径生成树的直径的中点。

求解最小直径生成树首先需要找到图的绝对中心。以图的绝对中心为起点，生成一个最短路径树，那么就可以得到最小直径生成树了。

### 例题

[SPOJ MDST](https://www.spoj.com/problems/MDST/)

[timus 1569. Networking the "Iset"](https://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1569)

[SPOJ PT07C - The GbAaY Kingdom](https://www.spoj.com/problems/PT07C)

## 参考文献

[Play with Trees Solutions The GbAaY Kingdom](https://adn.botao.hu/adn-backup/blog/attachments/month_0705/32007531153238.pdf)

WIKIOI

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