拓扑排序 - 图论

## 定义

拓扑排序的英文名是 Topological sorting。

拓扑排序要解决的问题是给一个图的所有节点排序。

我们可以拿大学选课的例子来描述这个过程，比如学习大学课程中有：单变量微积分，线性代数，离散数学概述，概率论与统计学概述，语言基础，算法导论，机器学习。当我们想要学习 算法导论 的时候，就必须先学会 离散数学概述 和 概率论与统计学概述，不然在课堂就会听的一脸懵逼。当然还有一个更加前的课程 单变量微积分。这些课程就相当于几个顶点 $u$ , 顶点之间的有向边 $(u,v)$ 就相当于学习课程的顺序。显然拓扑排序不是那么的麻烦，不然你是如何选出合适的学习顺序。下面将介绍如何将这个过程抽象出来，用算法来实现。

但是如果某一天排课的老师打瞌睡了，说想要学习 算法导论，还得先学 机器学习，而 机器学习 的前置课程又是 算法导论，然后你就一万脸懵逼了，我到底应该先学哪一个？当然我们在这里不考虑什么同时学几个课程的情况。在这里，算法导论 和 机器学习 间就出现了一个环，显然你现在没办法弄清楚你需要学什么了，于是你也没办法进行拓扑排序了。因而如果有向图中存在环路，那么我们就没办法进行 拓扑排序 了。

因此我们可以说 在一个 [DAG（有向无环图）](#) 中，我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点 $u$ 到 $v$ 的有向边 $(u,v)$ , 都可以有 $u$ 在 $v$ 的前面。

还有给定一个 DAG，如果从 $i$ 到 $j$ 有边，则认为 $j$ 依赖于 $i$ 。如果 $i$ 到 $j$ 有路径（ $i$ 可达 $j$ ），则称 $j$ 间接依赖于 $i$ 。

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。

## Kahn 算法

初始状态下，集合 $S$ 装着所有入度为 $0$ 的点， $L$ 是一个空列表。

每次从 $S$ 中取出一个点 $u$ （可以随便取）放入 $L$ , 然后将 $u$ 的所有边 $(u, v_1), (u, v_2), (u, v_3) \cdots$ 删除。对于边 $(u, v)$ ，若将该边删除后点 $v$ 的入度变为 $0$ ，则将 $v$ 放入 $S$ 中。

不断重复以上过程，直到集合 $S$ 为空。检查图中是否存在任何边，如果有，那么这个图一定有环路，否则返回 $L$ , $L$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。

首先看来自 [Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting#Kahn's_algorithm) 的伪代码

```text
L← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edges
while S is non-empty do
		remove a node n from S
		insert n into L
		for each node m with an edge e from n to m do
				remove edge e from the graph
				if m has no other incoming edges then
						insert m into S
if graph has edges then
		return error (graph has at least onecycle)
else
		return L (a topologically sortedorder)
```

代码的核心是维持一个入度为 0 的顶点的集合。

可以参考该图

![topo](images/topo.png)

对其排序的结果就是：2 -> 8 -> 0 -> 3 -> 7 -> 1 -> 5 -> 6 -> 9 -> 4 -> 11 -> 10 -> 12

### 时间复杂度

假设这个图 $G = (V, E)$ 在初始化入度为 $0$ 的集合 $S$ 的时候就需要遍历整个图，并检查每一条边，因而有 $O(E+V)$ 的复杂度。然后对该集合进行操作，显然也是需要 $O(E+V)$ 的时间复杂度。

因而总的时间复杂度就有 $O(E+V)$

### 实现

伪代码：

```text
bool toposort() {
	q = new queue();
	for (i = 0; i < n; i++)
		if (in_deg[i] == 0) q.push(i);
	ans = new vector();
	while (!q.empty()) {
		u = q.pop();
		ans.push_back(u);
		for each edge(u, v) {
			if (--in_deg[v] == 0) q.push(v);
		}
	}
	if (ans.size() == n) {
		for (i = 0; i < n; i++)
			std::cout << ans[i] << std::endl;
		return true;
	} else {
		return false;
	}
}
```

## DFS 算法

```cpp
vector<int> G[MAXN];	// vector 实现的邻接表
int c[MAXN];					// 标志数组
vector<int> topo;		 // 拓扑排序后的节点

bool dfs(int u) {
	c[u] = -1;
	for (int v : G[u]) {
		if (c[v] < 0)
			return false;
		else if (!c[v])
			if (!dfs(v)) return false;
	}
	c[u] = 1;
	topo.push_back(u);
	return true;
}

bool toposort() {
	topo.clear();
	memset(c, 0, sizeof(c));
	for (int u = 0; u < n; u++)
		if (!c[u])
			if (!dfs(u)) return false;
	reverse(topo.begin(), topo.end());
	return true;
}
```

时间复杂度： $O(E+V)$ 空间复杂度： $O(V)$

### 合理性证明

考虑一个图，删掉某个入度为 $0$ 的节点之后，如果新图可以拓扑排序，那么原图一定也可以。反过来，如果原图可以拓扑排序，那么删掉后也可以。

### 应用

拓扑排序可以用来判断图中是否有环，

还可以用来判断图是否是一条链。

### 求字典序最大/最小的拓扑排序

将 Kahn 算法中的队列替换成最大堆/最小堆实现的优先队列即可，此时总的时间复杂度为 $O(E+V \log{V})$ 。

## 习题

[CF 1385E](https://codeforces.com/problemset/problem/1385/E) ：需要通过拓扑排序构造。

## 参考

1. 离散数学及其应用。ISBN:9787111555391
2.	<https://blog.csdn.net/dm_vincent/article/details/7714519> 
3. Topological sorting, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Topological_sorting&oldid=854351542>

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